กฎเบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ

กฎเบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ

          ถ้าให้  S  เป็นแซมเปิลสเปซ  และ  A  เป็นเหตุการณ์

ใดๆจากการทดลองสุ่ม แล้ว

ตัวแปรสุ่ม  ( Random Variable )

ตัวแปรสุ่ม คือ ตัวแปร ซึ่งค่าของตัวแปรดังกล่าวนี้จะถูก

กำหนดโดยผลลัพธ์จากการทดลองเชิงสุ่ม

            ตัวแปรสุ่มแบ่งออกเป็น 2 ประเภท ดังนี้

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ( Discrete random variable )

ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ( Continuous random variable )

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ( Discrete Probability Distribution

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

            ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง โดยที่ X มีค่าเป็นที่

เป็นไปได้ คือ  x₁, x₂, x₃,…,x_n ฟังก์ชันความน่าจะเป็นที่

X  จะมีค่าใดๆ แทนด้วย P(X) = P(X=x) = f(X)

โดยฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้

            1.  ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X ต้องมีค่าอยู่ในช่วง ศูนย์ถึงหนึ่ง

            2. ผลรวมของการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X มีค่าเท่ากับ 1

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบทวินาม
        ( Binomial Distribution )

การทดลองที่ประกอบไปด้วยการทดลองย่อยที่เป็นอิสระกัน n

ครั้ง โดยที่ผลลัพธ์ของการทดลองย่อยแต่ละครั้งมี 2 อย่าง คือ

สำเร็จ และไม่สำเร็จ ซึ่งถ้ากำหนดให้ความน่าจะเป็นที่จะได้

ผลลัพธ์ คือ ความสำเร็จ มีค่าเท่ากับ  p เพราะฉะนั้น ความน่าจะ

เป็นที่จะได้ผลลัพธ์ คือ ความไม่สำเร็จ จะมีค่าเท่ากับ 1-p = q 

            ถ้ากำหนดให้ X เป็นตัวแปรสุ่ม แทนจำนวนครั้งที่เกิดความ

สำเร็จ ดังนั้นค่าที่เป็นได้ของ X คือ X = 0, 1, 2, 3,…,n

ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นของ X คือ

      

โดยที่  

X  จะมีค่าเฉลี่ย 

และความแปรปรวน

ตัวอย่าง
ร้านขายหลอดไฟแห่งหนึ่งทราบว่าในกล่องใบหนึ่งมี

หลอดไฟจำนวน 8 หลอด ถ้าความน่าจะเป็นที่จะพบหลอด

ไฟเสียเท่ากับ 0.35 จงหาความน่าจะเป็น

1. หลอดไฟเสีย 3 หลอด

2. หลอดไฟเสียไม่เกิน 1 หลอด    

 3.  จงหาค่าเฉลี่ย  และความแปรปรวน ของจำนวนหลอดไฟเสีย

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปัวส์ซอง
              ( Poisson  Distribution )

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปัวส์ซองเป็นการศึกษาความ

น่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่ถูกกำหนดจากเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในช่วง

เวลาหนึ่งหรือขอบเขตหนึ่งที่สนใจ ซึ่ง  l เป็นจำนวนครั้งของ

ความสำเร็จที่เกิดขึ้นโดยเฉลี่ย ( l > 0 )

            ถ้ากำหนดให้ X เป็นตัวแปรสุ่มแทนจำนวนครั้งที่ให้ผลสำเร็จใน

ช่วงเวลาหนึ่งหรือขอบเขตหนึ่ง ค่าที่เป็นไปได้ของ X มีค่าดังต่อไป

นี้ X = 0, 1, 2, 3,…,n

ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นของ X คือ

X  จะมีค่าเฉลี่ย

และความแปรปรวน

ตัวอย่าง

ในหน้าหนังสือพิมพ์หนึ่งหน้า โดยเฉลี่ยมีคำที่พิมพ์ผิด 5

คำ ถ้า นาย ก. อ่านหนังสือพิมพ์ฉบับนี้

จงหาความน่าจะเป็น

1.     มีคำที่พิมพ์ผิด 3 คำ

2.  มีคำที่พิมพ์ผิดไม่เกิน 1 คำ

3.  จงหาค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของคำที่พิมพ์ผิด 

การแจกแจงความน่าจะเป็นต่อเนื่อง

( Continuous  Probability Distribution

ฟังก์ชันความหนาแน่นของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง

      ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง โดยที่ฟังก์ชัน

ความหนาแน่นของ  X  จะมีค่าใดๆ แทนด้วย f(X)

และ  ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A คือ





โดยฟังก์ชันความหนาแน่นของ X มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้

      1.  ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X ต้องมีค่าอยู่ในช่วง ศูนย์ถึงหนึ่ง

      2. พื้นที่ใต้เส้นโค้งการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X มีค่าเท่ากับ 1

การแจกแจงปกติ ( Normal Distribution )

ถ้าตัวแปรสุ่ม  X  มีการแจกแจงปกติ 

ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของ X คือ

โดยที่

การแปลงจากตัวแปรสุ่ม X  ที่มีการแจกแจงแบบปกติที่

มีค่าเฉลี่ย  m  และความแปรปรวน  s² ไปเป็นตัวแปรสุ่ม

Z ที่มีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานที่มีค่าเฉลี่ยเป็น 0 

และความแปรปรวนเท่ากับ 1 โดยที่  

การคำนวณหาค่าความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่มีการ

แจกแจงแบบปกติ

  1.  แปลงตัวแปรสุ่ม X  ให้เป็นตัวแปรสุ่ม  Z  โดยที่